El presente informe girará en torno a la biografía, logros y obras de Leonardo de Pisa (Leonardo Bigollo), mejor conocido como Fibonacci, el gran matemático italiano famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado y por idear la Sucesión de Fibonacci, de importantísimo uso en las ciencias de la computación y de vital relevancia en la comprensión de caracteres biológicos y en el análisis matemático.
▲ Leonardo Bigollo (1170-1250), mejor conocido como Fibonacci.
Para comenzar, es necesario describir algunos aspectos de su biografía. Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, también llamado Fibonacci, nació en 1170 y falleció en el año 1250. Recibió el seudónimo de Fibonacci debido a que el apodo de su padre, Guillermo, era Bonacci. Así, Leonardo recibió el apodo por fillius Bonacci. Su padre dirigía un puesto de comercio en Bugía, hacia el norte africano. Fibonacci viajó hasta esta ciudad argelina para ayudarlo y allí logró aprender el sistema de numeración árabe que luego difundiría en Europa, implementando la notación posicional (es decir, de base 10 o “decimal”) y un dígito de valor nulo (el cero).
Conciente de la superioridad de la numeración árabe, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo como aprendiz de los mejores y más renombrados matemáticos árabes de la época. Analizaremos con detalle los más importantes legados que sus libros nos han dejado.
En 1202, cuando Fibonacci tenía 32 años, escribe “Liber Abaci”. Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculos, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones.
El libro fue revisado y aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo en especial está íntegramente dedicado a las funciones graduales; es decir, Fibonacci deja en claro que para todo an, se cumple la siguiente sumatoria:
En ellas basa una teoría de los
números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos
numéricos abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de
números concretos.
Todas las fracciones se presentan a
la manera egipcia, o sea, como suma de fracciones con numeradores unitarios y
denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción 2/3, que no se
descompone, no por razones aritméticas, sino por razones
filosóficas-religiosas.
En “Practica Geometriae” aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas.
Es, sin duda, la obra más avanzada en su tipo que se encontraba en la época en
Occidente.
En “Flos super solutionibus quarumdam questionum ad
numerum et ad geometricam pertinentium” se abordan quince problemas
de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de ellos habían
sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la
corte del emperador Federico II.
También de él hallamos “Carta a Teodoro”. Es una simple
carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de Federico II. En
ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en
encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres
de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el “Liber
Quadratorum” al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina
que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la
caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo
problema es geométrico-algebraico. Trata de inscribir en un triángulo
isósceles un pentágono equilátero que tenga
un lado sobre la base del triángulo y los otros dos sobre los restantes de
éste. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor
muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal.
“Liber Quadratorum” es el último gran aporte a la matemática. Consta de
veinte proposiciones. Éstas no consisten en una
recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una
selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis
indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro.
A continuación, se analizará la más grande razón por la
cual Leonardo es conocido: la renombrada Sucesión
de Fibonacci.
Para comenzar, se dirá que la sucesión que ideó
Fibonacci es:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
La sucesión inicia con 0 y 1. Luego, cada elemento es el
resultado de los dos anteriores.
Su gráfica, hasta f(10),
es la siguiente:
Su fórmula general es:
Sus aplicaciones van desde ciencias de la computación,
matemáticas y teoría de juegos, hasta en biología y arquitectura. Más adelante
se detallarán sus usos y dónde se encuentran.
En
1753, Robert Simson descubrió que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn+1/fn
se acerca a la relación áurea φ cuanto más se acerque a infinito, siendo:
Este número es
importantísimo. Se puede hallar en diversas estructuras y cuerpos. Algunos
ejemplos son:
El cociente
entre la altura de un humano y la distancia del ombligo a la mano es igual a φ. El
cociente entre la longitud de un brazo y la distancia del codo a la punta del
dedo medio es φ. La relación entre los falanges
de los dedos es el número áureo. La relación entre la longitud de la cabeza y
su anchura también es φ.
Ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen
ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos,
algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13,
21, 34, 55 u 89. Las “hojas” de una piña de pino tienen, por regla general, una
característica de 5/8 o bien 8/13, números Fibonacci, presentando propiedades
similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de
las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
Los machos de una colmena de
abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es
que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene
una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres
bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco
tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así
sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
Se puede
construir una serie de rectángulos usando los números de esta sucesión. Se
empieza con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Se
construye uno igual sobre él, obteniendo un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones
2x1. Sobre el lado de dos unidades, se construye un cuadrado y se obtiene un
nuevo rectángulo de 3x2. Sobre el lado mayor se construye otro cuadrado,
obteniendo un rectángulo de 5x3. Luego uno de 5x8, 8x13, 13x21… Cuanto más se
avance, se aproximará más al rectángulo áureo. Si se unen los vértices de cada
uno de estos rectángulos, se va formando una curva llamada “Espiral de Durero”,
espiral que está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en
los cuernos de los rumiantes, etc.
Las relaciones
pueden hallarse también en las espirales de las galaxias. El Sistema Solar pareciera
seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo la Luna),
Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta
que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos.
Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes
y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos
extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro
Sistema Solar.
En arte, es posible ver que el “Hombre de Vitrubio”, el
rostro de la Gioconda y la “Última Cena” están diseñados utilizando la
proporción áurea; e incluso que el propio Partenón fue creado en base al número
de oro. Se emplea en marketing para hacer más agradables a la vista
determinados productos, como las cajas de cigarrillos.
Por último, es
importante mencionar que los libros donde Fibonacci presenta sus estudios utilizan demostraciones del tipo retórico y usa
segmentos de recta como representación de cantidades (por ejemplo, en “Liber
Abaci”). Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que
hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y
específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma
puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores
importantes si se hace excepción de la incompletitud de algunas demostraciones.
En conclusión, se puede decir que Fibonacci, obviamente sin
saberlo, había hallado la llave de las relaciones entre la naturaleza misma y
las matemáticas. Se dan por finalizados aquí los detalles, problemas y
asombrosas cuestiones relacionadas con el fascinante mundo que Leonardo supo
ver en aquellos siglos tan tempranos para las ciencias exactas, analizando lo
sabido por los matemáticos indios, quienes
habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de
uno o dos pulsos.
Por esta razón, sus libros son un gran aporte a la
historia de la matemática y deben ser estudiados para comprender los enormes
avances que conllevan.
Hernán R. Gómez (Docente)
Hernán R. Gómez (Docente)
